Question

如图，有一边长为2米的正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．

（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线的方程;
（Ⅱ）如何画出切割路径，使得剩余部分即直角梯形的面积最大？
并求其最大值．

Answer 1

(I) .(Ⅱ)当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.  

试题分析：(I)以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，

依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为， ∴，
故边缘线的方程为.
(Ⅱ)要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，   ∵，
∴直线的的方程可表示为，即 ， 由此可求得，.
，   ，
设梯形的面积为，则
. ∴当时，
故的最大值为. 此时.
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.  
点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用解析法根据题意建立适当的坐标系，构造曲线方程，利用曲线的性质进行求解．