Question

已知椭圆的中心在原点，左焦点F₁（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a²=b²+c²求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为．
令x=-c，代入椭圆方程得，．
所以，又a²=b²+c²，解得．
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程，得（m²+3）y²-6my+3=0，
，
由题意可知AF₁⊥BF₁，即，
∴=
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0．
∴，解得m=．
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为或x-+3=0．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．