题目内容
1．已知双曲线C的焦点在x轴上且渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，直线L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）与双曲线C交于A，B两点，|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，求双曲线C的方程．分析 由题意，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$a设双曲线方程为2x2-y2=2a2，直线L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）与双曲线C联立，消去y，可得5x2+6x-9-6a2=0，利用|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，建立方程，即可求双曲线C的方程．
解答 解：由题意，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{2}$a
设双曲线方程为2x2-y2=2a2，
直线L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）与双曲线C联立，消去y，可得5x2+6x-9-6a2=0，
∵|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（-\frac{6}{5}）^{2}-4•\frac{-9-6{a}^{2}}{5}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴a=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{6}$，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题．
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