Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+3，x∈[1，3]．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由于，（1）由题意可得．
（2）解法1：由题意得x²-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即在x∈[1，3]上恒成立．令，由其图象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值为（当时取到），故．
解法2：在x∈[1，3]上恒成立，
当时，f（1）=3-a＞0?a≤2；
当时，；
当时，f（3）=11-3a＞0，此时无解，综上可得．
分析：（1）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，则区间[1，3]完全在对称轴的右侧，由此构造关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围；
（2）解法1：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，则在x∈[1，3]上恒成立．构造函数，求出其最小值，进而即可得到a的取值范围．解法2：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，我们分区间[1，3]完全在对称轴左侧，右侧和在对称轴两侧三种情况进行分析讨论，最后综合讨论结果即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，在遇到二次函数的参数问题题分析区间与对称轴的关系，并进行分类讨论，是解答此类问题的关键．