题目内容
如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．
【答案】分析：（Ⅰ）先求出两曲线的交点O、A坐标，由直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D表示出BD的长，利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积；即可表示函数f（t）的关系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．
解答：解：（Ⅰ）由
得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.
，
即
．
（Ⅱ）
．令f'（t）=0解得
．
当
，从而f（t）在区间
上是增函数；
当
，从而f（t）在区间
上是减函数．
所以当
时，f（t）有最大值为
．
点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及利用导数研究函数增减性，利用导数求闭区间上函数最值的能力．
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．
解答：解：（Ⅰ）由
得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.，即
．（Ⅱ）
．令f'（t）=0解得．当
，从而f（t）在区间上是增函数；当
，从而f（t）在区间上是减函数．所以当
时，f（t）有最大值为．点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，以及利用导数研究函数增减性，利用导数求闭区间上函数最值的能力．
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