Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）lnx+b．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）在[ ，+∞）上的零点个数；
（2）当a＞1且函数f（x）在（1，e）上有极小值时，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=xlnx+b，

∴f′（x）=1+lnx≥0在[ ，+∞）上恒成立，

∴f（x）在[ ，+∞）单调递增，

∴f（x）min=f（ ）=﹣ +b，

当﹣ +b≤0时，即b≥ 时，函数有唯一的零点，

当﹣ +b＞0时，即b= ，函数没有零点，

（2）解：∵f′（x）=lnx+ ，x∈（1，e）

令g（x）=lnx+ ，

∴g′（x）= + ＞0恒成立，

∴g（x）在（1，e）上单调递增，

∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣ ，

∵函数f（x）在（1，e）上有极小值，

∴ ，

解得1＜a＜2e，

故a的取值范围为（1，2e）

【解析】（1）先求导，求出函数的最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论即可得到函数零点的个数，（2）函数f（x）在（1，e）上有极小值时，则函数f（x）在（1，e）上不单调，先求导，构造函数g（x）=lnx+ ，得到函数在（1，e）上单调递增， 即可以得到 ，解得即可
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．