Question

△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，且

cosB

cosC

=

b

2a-c

．
（1）求∠B的大小．
（2）若b=

7

2

，△ABC的面积S=

3

2

3

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，由sinA不为0，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由sinB及已知的面积，利用三角形的面积公式求得ac=6，由余弦定理求出a²+c²-ac=b²及b的值，由此求出a+c的值．

解答：解：（1）由正弦定理化简已知等式得：

cosB

cosC

=

sinB

2sinA-sinC

，
整理得：sinBcosC=cosB（2sinA-sinC）=2sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

，又B为三角形的内角，
∴∠B=60°；
（2）由S=

1

2

acsinB=

3 3

2

，且B=

π

3

，可得ac=6，
根据余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-ac=

49

4

，
即（a+c）²=3ac+

49

4

=3×6+

49

4

=

91

4

，
则a+c=

91

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．