题目内容
【题目】如图，在各棱长均为4的直四棱柱
中，底面
为菱形， 
， 
为棱
上一点，且
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得
平面
，然后利用面面垂直的判断定理即可证得结论；
(2)利用题意建立空间直角坐标系，然后利用法向量求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系即可求得二面角
的正弦值．
试题解析：
（Ⅰ）证明：∵底面
为菱形，∴
.
在直四棱柱
中， 
底面
，∴
．
∵
，∴
平面
，
又
平面
，∴平面
平面
．
（Ⅱ）解：设
与
交于点
， 
与
交于点
，以
为原点， 
、
、
分别为
、
、
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，则
， 
， 
， 
，
则
， 
， 
.
设
为平面
的法向量，
则
取
，则
．
设
为平面
的法向量，
则
取
，则
．
∴
，
∴二面角
的正弦值为
．
练习册系列答案
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（1）求
的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率）
（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
附：
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
