Question

已知动点P到点A(－2,0)与点B(2,0)的斜率之积为－，点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；
(2)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x＝4分别交于M，N两点，直线BM与椭圆的交点为D.求证，A，D，N三点共线．

Answer 1

（1）＋y²＝1(x≠±2)．（2）见解析

(1)解　设P点坐标(x，y)，则k_AP＝ (x≠－2)，k_BP＝ (x≠2)，由已知·＝－，化简，得＋y²＝1，所求曲线C的方程为＋y²＝1(x≠±2)．
(2)证明　由已知直线AQ的斜率存在，且不等于0，设方程为y＝k(x＋2)，
由消去y，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0，①
因为－2，x_Q是方程①的两个根，所以－2x_Q＝，得x_Q＝，又y_Q＝k(x_Q＋2)＝k＝，所以Q.
当x＝4，得y_M＝6k，即M(4,6k)．
又直线BQ的斜率为－，方程为y＝－ (x－2)，当x＝4时，得y_N＝－，即N.直线BM的斜率为3k，方程为y＝3k(x－2)．
由消去y得：
(1＋36k²)x²－144k²x＋144k²－4＝0，②
因为2，x_D是方程②的两个根，
所以2·x_D＝，
得x_D＝，又y_D＝3k(x_D－2)＝－，
即D，
由上述计算：A(－2,0)，
D，N.
因为k_AD＝－，k_AN＝－，所以k_AD＝k_AN.
所以A，D，N三点共线．