Question

（本题满分16分）设，.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，解不等式.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）.

（3）1）当时，原不等式解为一切实数；

2）当时，原不等式解为：.

3)当时，原不等式的解为：；

4）当时，原不等式的解为：；

5）当时， 。

【解析】

试题分析：(1) 因为恒成立，所以k=-1时显然不成立；那么k应满足,解之得即可求得k的取值范围.

(2)当时，恒成立,设因为它在（1，2）上是增函数，故，

从而当时，恒成立,因而转化为常规的一元二次不等式对于恒成立来解决即可.

（3），然后根据和和再结合k<0分三种情况讨论解不等式即可.

（1）恒成立……

，              ……

（2）令它在（1，2）上是增函数，故，

从而当时，恒成立                  ……

即对于恒成立，

 ；因为当时，，

所以，                        ……

，

令，则

，                             ……

而在上是增函数，且，

，从而.  ……

（3），

1）当时，，原不等式解为一切实数；

2）当时，原不等式解为：.

3)当时，，

原不等式的解为：；……

4）当时，原不等式的解为：；

5）当时，

原不等式的解为：…….

考点：一元二次不等式恒成立问题，换元法解不等式，分类讨论思想.

点评：（1）对于一元二次不等式f(x)>0恒成立问题，要满足开口向上，并且与x轴无交点，所以

二次项系数大于零，并且.

(2)对于复杂类型的不等式问题可考虑采用换元法转化为常见不等式类型求解.

（3）对于含参的一元二次不等式要注意根据的符号分类讨论求解.