Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点（A点位于x轴上方），若△AOF的面积为3$\sqrt{3}$，则p=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 写出直线AB的方程，联立方程组解出A点坐标，根据面积列方程解出p．

解答 解：抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
解得x₁=$\frac{p}{6}$，x₂=$\frac{3p}{2}$．
∵A点在x轴上方，∴A（$\frac{3p}{2}$，$\sqrt{3}p$）．
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}•\sqrt{3}p$=3$\sqrt{3}$，解得p=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．