Question

（本小题满分12分）设函数.

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）设上单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，求的单调区间.

Answer 1

（Ⅰ），没有极大值

（Ⅱ）

（Ⅲ）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为

【解析】

试题分析：（1） .求可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数；二、求方程的根；三、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，

（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到 （3）函数的单调性与导数之间的关系且不恒为0时单调递增，且不恒为0时单调递减，如果有字母系数，要注意分类讨论

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为 1分

当时，，∴ 2分

由得 随变化如下表：

	—	0	+
	减函数	极小值	增函数

故，，没有极大值. 4分

（Ⅱ）由题意，，在上单调递增，[

在上恒成立，

设在上恒成立， 5分

当时，恒成立，符合题意. 6分

当时，在上单调递增，的最小值为，

得，所以, 8分

当时，在上单调递减，不合题意,

所以 （也可以用分离变量的方法） 10分

（Ⅲ）由题意，，令得，10分

若，由得；由得 11分

若，①当时，，或时，；

时，；

②当时，；

③当时，或,;, 13分

综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为． 14分

考点：函数的极值，单调性与导数及分类讨论思想