Question

17．直线$\sqrt{2}$ax+by=1（a，b是实数）与圆x²+y²=1相交于A、B两点，且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间的距离的最小值为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由△AOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出|AB|的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出|OC|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的|OC|的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为f（b），可得此函数为开口向上，且对称轴为x=2的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．

解答 解：根据题意画出图形，如图所示：
过O作OC⊥AB，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，
又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得：|AB|=$\sqrt{2}$，
∴|OC|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆心到直线的距离为$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即2a²+b²=2，即a²=-$\frac{1}{2}$b²+1，
∴-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$，
则点P（a，b）与点（0，1）之间距离d=$\sqrt{（a-0）^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{b}^{2}-2b+2}$，
设f（b）=$\frac{1}{2}$b²-2b+2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，
∴当-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$＜2时，函数为减函数，
∵f（$\sqrt{2}$）=3-2$\sqrt{2}$，
∴d的最小值为$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数f（b）为减函数是解本题的关键．