题目内容
正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．（1）求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC1⊥B1P时，求二面角C-B1P-C1的余弦值．
分析：1、根据公式求解即可．2、利用空间直角坐标系，根据向量可以证明．3、借用（2）中的坐标系，利用法向量求解．
解答：解：（1）VABC-A1B1C1=S△ABC•AA1=
×22×2=2
，（3分）
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，（4分）
则A，C，B1，P的坐标分别为(0，-1，0)，(0，1，0)，(
，0，2)，(0，-1，a)；（6分）
∴
=(0，2，0)，
=(-
，-1，a-2)
•
=-2≠0，
∴B1P不垂直AC；
∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（8分）
（3）
=(-
，1，2)，
由BC1⊥B1P，得
•
=0，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC1⊥B1C∴BC1⊥面CB1P；
∴
=(-
，1，2)是面CB1P的法向量；（10分）
设面C1B1P的法向量为
=(1，y，z)，
由
得
=(1，
，-2
)，（12分）
设二面角C-B1P-C1的大小为α，则cosα=
=
，
∴二面角C-B1P-C1的余弦值大小为
．（14分）
| ||
| 4 |
| 3 |
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，（4分）
则A，C，B1，P的坐标分别为(0，-1，0)，(0，1，0)，(
| 3 |
∴
| AC |
| B1P |
| 3 |
| AC |
| B1P |
∴B1P不垂直AC；
∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（8分）
（3）| BC1 |
| 3 |
由BC1⊥B1P，得
| BC1 |
| B1P |
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC1⊥B1C∴BC1⊥面CB1P；
∴
| BC1 |
| 3 |
设面C1B1P的法向量为
| n |
由
|
| n |
| 3 |
| 3 |
设二面角C-B1P-C1的大小为α，则cosα=
| ||||
|
|
| ||
| 4 |
∴二面角C-B1P-C1的余弦值大小为
| ||
| 4 |
点评：本题考查学生的空间想象能力，空间直角坐标系的使用，及二面角的求法，是中档题．
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=a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．
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