Question

如图10-20，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

       图10-20

(1)证明：AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

(3)证明：面AED⊥面A₁FD₁；

(理)(4)设AA₁＝2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积V

Answer 1

(1)；

图10-53

(2)如图10-53，取AB中点G，连A₁G、FG，因为F是CD中点，所以CFAD，又A₁D₁AD，

所以GFA₁D₁，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F.

 

设A₁G与AE交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角，因E是BB₁中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE， 

∠GA₁A＝∠GAH，从而∠AHA₁＝90°，即直线AE与D₁F所成角为直角.

 

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE＝A，所以D₁F⊥面AED，又D₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

(理)(4)连GE、GD₁，因为FG∥A₁D，所以FG∥面A₁ED₁，

所以体积VF－A₁ED₁＝VG－A₁ED₁＝VD₁－A₁GE，因为AA₁＝2，

 

所以面积S＝S_{平行四边形}－2S－S_△GBE＝

 

所以V＝V＝·A₁D₁·S＝×2×＝1.

评述：本题主要考查棱柱的概念、两异面直线的垂直、异面直线所成的角、两平面垂直等能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力此题中的四个小问题层层深入，由(1)的证明线线垂直到(2)中用到了线面垂直，而证得(3)中的面面垂直，最后在(4)中求体积脉络清楚，考查立几知识较全面注意在后一小问题中用到前面小题的结论这在立几大题中经常出现求体积过程中对三棱锥的顶点和底面作了灵活的转换，使计算简单，这也是求三棱锥体积的常用方法.