Question

6．在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0，设b_n=log₂a_n．且b₁+b₂+b₃=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求{a_n}的通项a_n．
（2）若c_n=$\frac{1}{n（{b}_{n}-6）}$，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式，结合b_n=log₂a_n化简b₁•b₃•b₅=0得a₅=1且b₅=0，代入b₁+b₃+b₅=6得log₂a₁a₃=6，由此算出a₂=8，解出公比q，即可得出{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）运用对数的运算性质可得b_n，求得c_n=$\frac{1}{n（{b}_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求．

解答 解：（1）依题意，a_n=a₁q^n-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴数列{a_n}是单调数列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4，
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1，
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a₃q²=1，即q²=$\frac{1}{4}$，
解之得q=$\frac{1}{2}$（舍负）．
∴a_n=a₅q^n-5=2^5-n；
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
c_n=$\frac{1}{n（{b}_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n项和S_n=-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-（1-$\frac{1}{n+1}$）=-$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的定义与运算性质和数列的求和方法：裂项相消求和等知识，属于中档题．