Question

18．已知非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线．若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$，求证：A，B，C，D四点共面．

Answer 1

分析 不存在实数k，使得$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，可知：$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$不共面．令$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，则$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+y$（3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$，利用非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，即可得出．

解答 证明：∵不存在实数k，使得$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，可知：$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$不共面．
令$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
则$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+y$（3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$=（x+3y）$\overrightarrow{a}$+（x-3y）$\overrightarrow{b}$，
又非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=x+3y}\\{8=x-3y}\end{array}\right.$，解得x=5，y=-1．
∴存在实数x，y使得$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴A，B，C，D四点共面．

点评 本题考查了向量的共线定理、向量的共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．