Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求AC与平面EBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则利用中位线的性质，可知四边形AFPE是平行四边形，由此能够证明AF∥面BDE．
（Ⅱ）利用等体积，求出A到平面EBC的距离为d，即可求得AC与平面EBC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取BD的中点P，连接EP、FP，则FP∥

1

2

DC且FP=

1

2

DC，
又∵EA∥

1

2

DC且EA∥

1

2

DC，∴EA∥FP且EA=FP，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）解：过A作AH⊥平面EBC，连接HB，则∠ABH为AC与平面EBC所成角
设A到平面EBC的距离为d，则
在△EBC中，EC=EB=

5

，BC=2

2

，∴S△EBC=

1

2

×2

2

×

3

=

6

由V_E-ABC=V_A-EBC可得

1

3

×

1

2

×2×2×1=

1

3

×

6

d
∴d=

6

3

∴AC与平面EBC所成角的正弦值为

6 3

2

=

6

6

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，掌握线面平行的判定方法，正确求出点到面的距离是关键．