Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
（1）判断函数是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设，若在上分别以为上界，
求证：函数在上以为上界；
（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，
求实数的取值范围.

Answer 1

（1）是有界函数（2）见解析（3）

解析试题分析：（1），当时，
则，由有界函数定义可知是有界函数
(2)由题意知对任意，存在常数，都有成立
即，同理（常数）
则，即
在上以为上界
(3)由题意知，在上恒成立。
，    
∴  在上恒成立
∴   
设，，，由得 t≥1，
设，，
所以在上递减，在上递增，（单调性不证，不扣分）
在上的最大值为，
在上的最小值为。
所以实数的取值范围为
考点：二次函数求最值及不等式恒成立问题
点评：不等式恒成立转化为求函数最值问题，利用单调性可求最值