Question

设双曲线的两条渐近线l₁，l₂与以点（1，0）为圆心，为半径的圆相切．
（I）求a的值；
（II）若双曲线C的两个焦点分别为F₁、F₂，A、B分别为l₁，l₂上的点，且2|AB|=3|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设知：l₁，l₂的方程为：，由点到直线的距离公式得，由此能求出a的值．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），由2|AB|=3|F₁F₂|，知=，再由，，能求出线段AB的中点M的轨迹．
解答：解：（I）由题设知：l₁，l₂的方程为：，
由点到直线的距离公式得
，
∴a=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|=3|F₁F₂|，
∴
=，
又，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴，，
∴，
∴，
即，
所以M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．