Question

9．已知等差数列{a_n}首项为a₁，公差为b₁，等比数列{b_n}首项为b₁，公比为a₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，则a_n=7n-5．

Answer 1

分析 a_n=a₁+（n-1）b₁，${b}_{n}={b}_{1}{a}_{1}^{n-1}$，根据对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，可得5+a₁+（m-1）b₁=${b}_{1}{a}_{1}^{n-1}$，n=1时，可得5+a₁=（2-m）b₁，由于a₁＜b₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整数，只能m=1，可得5+a₁=b₁．再根据b₂＜a₃，即可得出．

解答 解：a_n=a₁+（n-1）b₁，${b}_{n}={b}_{1}{a}_{1}^{n-1}$，
对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，
∴5+a₁+（m-1）b₁=${b}_{1}{a}_{1}^{n-1}$，
n=1时，5+a₁+（m-1）b₁=b₁，∴5+a₁=（2-m）b₁，
∵a₁＜b₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整数，
∴只能m=1，∴5+a₁=b₁．∴b₁＞6．
∵b₂＜a₃，
∴b₁a₁＜a₁+2b₁，
∴（5+a₁）a₁＜a₁+2（5+a₁），
化为${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$-10＜0，
解得1＜a₁＜$\sqrt{11}$-1，
取a₁=2．∴b₁=7，a_n=2+7（n-1）=7n-5；
b_n=7×2^n-1．
代入a_m+5=b_n，7m-5+5=7×2^n-1，化为m=2^n-1，满足题意．
故答案为：7n-5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了分析问题与解决问题的能力与计算能力，属于中档题．