Question

15．下列命题正确的个数是（　　）
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；
②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；
③存在实数x₀，使x₀²+x₀+1＜0；
④命题“若m＞1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①先写出该命题的否命题：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B，所以分这样几种情况判断即可：A，B∈（0，$\frac{π}{2}$]，A∈（0，$\frac{π}{2}$]，B∈（$\frac{π}{2}$，π），A∈（$\frac{π}{2}$，π），B∈（0，$\frac{π}{2}$]；或通过正弦定理判断；②根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；③通过配方判断即可；④先求出命题的逆否命题，再判断正误即可．

解答 解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；
若A，B∈（0，$\frac{π}{2}$]，∵正弦函数y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$]上是增函数，∴sinA≤sinB可得到A≤B；
若A∈（0，$\frac{π}{2}$]，B∈（$\frac{π}{2}$，π），sinA＜sinB能得到A＜B；
若A∈（$\frac{π}{2}$，π），B∈（0，$\frac{π}{2}$]，则由sinA≤sinB，
得到sin（π-A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；
综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；
法二：∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；
②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；
若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；
∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；
法二：p是q的必要不充分条件?￢q是￢p的必要不充分条件，
而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，
则￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，
故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，
所以该命题正确；
③由x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，故不存在实数x₀，使x₀²+x₀+1＜0；③错误；
④命题“若m＞1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x²-2x+m=0没有实根，则m≤1”，
由△=4-4m≥0，解得：m≤1，故④错误；
故①②正确，选：C．

点评 考查正弦函数的单调性，充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念，考查二次函数的性质以及四种命题之间的关系，是一道中档题．