Question

10．若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²上距点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是顶点，则a的取值范围是（　　）

• A． a＞0
• B． 0＜a≤1
• C． 0＜a≤$\frac{1}{2}$
• D． a≥1

Answer 1

分析 将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．

解答 解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
|AP|²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²，
∵x²=2y，
∴|AP|²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0），
∴对称轴为a-1，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a-1≤0解得a≤1，
又a＞0，
∴0＜a≤1，
故选：B．

点评 本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．