Question

若钝角三角形的三边长是公差为1的等差数列，则最短边的取值范围是

1＜a＜3

．

Answer 1

分析：由题意可得：设三角形的三边长分别为a，a+1，a+2，根据题意表示出最大角的余弦值并且令其小于得到0＜a＜3，再结合两边之和大于第三边得到a＞1，进而求出a的取值范围．

解答：解：由题意可得：设三角形的三边长分别为a，a+1，a+2，
设最大角为A，最小角为B，
因为三角形为钝角三角形，
所以cosA=

a2+(a+1)2-(a+2)2

2a(a+1)

=

a-3

2a

＜0，
解得：0＜a＜3，…①
又因为在三角形中，所以两边之和大于第三边，即a+（a+1）＞a+2，
解得：a＞1，…②
由①②可得：1＜a＜3．
故答案为：1＜a＜3．

点评：本题主要考查余弦定理与三角形的性质，及等差数列的性质，根据题意表示出大角的余弦值是解决此题的关键，此题属于中档题．