2015年7月9日21时15分.台风“莲花在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆.给当地人民造成了巨大的财产损失.适逢暑假.小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失.将收集的数据分成[0.2000].(2000.4000].(4000.6000].(6000.8000].(8000.10000]五组.并作出如下频率分布直方图(图1):(1)台风后居� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：
（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	60
捐款不超过500元		10
合计

附：临界值表

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

随机量变${K^2}=\frac{{（a+b+c+d）{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

分析（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K²，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

解答（本小题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，
经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下：

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	60	20	80
捐款不超过500元	10	10	20
合计	70	30	100

…（2分）
K²=$\frac{100×（60×10-10×20）^{2}}{80×20×70×30}$=4.76
∵4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05
∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．…（4分）
（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．
由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），…（5分）
$p（ξ=0）=C_3^0{（\frac{3}{10}）^0}×{（\frac{7}{10}）^3}=\frac{343}{1000}$，…（6分）
$p（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{10}）^1}×{（\frac{7}{10}）^2}=\frac{441}{1000}$，…（7分）
$p（ξ=2）=C_3^2{（\frac{3}{10}）^2}×{（\frac{7}{10}）^1}=\frac{189}{1000}$，…（8分）
$p（ξ=3）=C_3^3{（\frac{3}{10}）^3}×{（\frac{7}{10}）^0}=\frac{27}{1000}$，…（9分）
∴ξ的分布列为：