Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱锥P-AMN的体积；
（3）求二面角P-AN-M的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：CD⊥PD，即可得到MN⊥PD，在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，可得AM⊥PD，再利用线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（2）由题意可得：CD⊥平面PAD，即可得到MN⊥平面PAD，所以∠AMN=90°，再结合题中的条件可得S△AMN=

1

2

AM•MN=

2

2

，又因为PM为三棱锥P-AMN的高，所以可得三棱锥的体积．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，可得∠PHM为二面角P-AN-M的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴CD⊥PD
在△PCD中，M、N分别为PD、PC的中点，则MN∥CD，
∴MN⊥PD 
∵在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM?平面AMN，MN?平面AMN
∴PD⊥平面AMN
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，
∴CD⊥平面PAD．
∵MN∥CD，
∴MN⊥平面PAD
又∵AM?平面PAD
∴MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点，
∴AM=PM=

2

．
又∵MN=

1

2

CD=1，
∴S△AMN=

1

2

AM•MN=

2

2

．
∵PM⊥平面AMN，
∴PM为三棱锥P-AMN的高，
∴V三棱锥P-AMN=

1

3

S△AMN•PM=

1

3

．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM为二面角P-AN-M的平面角
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，MH=

AM•MN

AN

=

2

3

，
∴在Rt△PMH中，tan∠PHM=

PM

MH

=

2

2 3

=

3

，
∴∠PHM=60°则二面角P-AN-M的大小为60°．

点评：本题主要考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积公式，而空间角解决的关键是做角，因此由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．