Question

已知椭圆，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点（不是顶点），△PF₁F₂内一点G满足．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若椭圆C短轴长为，过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），求△F₁AB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据，可得G是△PF₁F₂的重心，利用三角形的重心坐标公式，确定G与P坐标之间的关系，利用∵为椭圆上一点，即可求得椭圆C的离心率；
（II）先求出椭圆方程为，假设直线l：x=my+，两者联立，利用韦达定理，可表示出三角形的面积，再借助于函数的单调性，即可求得△F₁AB面积的最大值．
解答：解：（I）∵，
∴
∵，
∴G是△PF₁F₂的重心
设P（x，y），则有，∴
∵P为椭圆上一点
∴
∴3a²=4b²
∵b²=a²-c²
∴4c²=a²
∴
∴椭圆C的离心率为；
（II）∵若椭圆C短轴长为，∴
∵4c²=a²，∴4（a²-b²）=a²
∴a²=8，∴
∴椭圆方程为
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my+
由，消去x，可得
∴
∴==
当且仅当m=0时取等号，
∴△F₁AB面积的最大值为6．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，解题的关键是利用向量知识，确定几何量的关系，利用直线与椭圆的联立，借助于韦达定理，确定三角形的面积．