Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（　　）

• A、

  7

  7

• B、

  5 7

  7

• C、

  7

  14

• D、

  5 7

  14

Answer 1

分析：利用双曲线的简单性质求出直线方程，求出三角形三个顶点的坐标，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．

解答：解：由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），

c

a

=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程为

x

-a

+

y

b

=1，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程为 

x

-c

+ 

y

-b

=1，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由

bx - ay +ab = 0 bx +2ay + 2ab = 0

得 D （-

4a

3

，-

b

3

），又 b=

c2- a2

=

3

 a，
∴FD=

(-c+ 4 3 a)2+ b2 9

=

7a2 9

，BD=

(-a+ 4 3 a)2+ b2 9

=

4 9 a2

，
三角形BDF中，由余弦定理得 a2= 

7

9

a2+

4

9

a2-2

7a2 9

•

4a2 9

cos∠BDF，
∴cos∠BDF=

7

14

，
故选 C．

点评：本题考查求直线方程，求两直线的焦点坐标，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用．