Question

如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若|PM|•|PN|=

2

1-cos∠MPN

，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案．
（2）先将|PM|•|PN|=

2

1-cos∠MPN

转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2的形式，再由余弦定理得到|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆．
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=

a2-c2

=

5

，
所以椭圆的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

（Ⅱ）由|PM|•|PN|=

2

1-cosMPN

，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2．①
因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形．
在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN．②
将①代入②，得4²=|PM|²+|PN|²-2（|PM|•|PN|-2）．
故点P在以M、N为焦点，实轴长为2

3

的双曲线

x2

3

-y2=1上．
由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足

x2

9

+

y2

5

=1，
所以由方程组

5x2+9y2=45 x2-3y2=3

解得

x=± 3 3 2 y=± 5 2 .

即P点坐标为(

3 3

2

，

5

2

)、(

3 3

2

，-

5

2

)、(-

3 3

2

，

5

2

)或(-

3 3

2

，-

5

2

)．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c的基本关系等都是高考的考点，要熟练掌握．