Question

如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设d为点P到直线l：x=

1

2

的距离，若|PM|=2|PN|²，求

|PM|

d

的值．

Answer 1

分析：（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=

3

，
（2）联系双曲线的第二定义，到定点距离比上到对应直线的距离等于常数e（离心率）．

解答：解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=

3

，
所以双曲线的方程为x2-

y2

3

=1
（II）解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|²，①
知|PM|＞|PN|，故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2．②
将②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=

1± 17

4

，舍去

1- 17

4

，
所以|PN|=

1+ 17

4

．
因为双曲线的离心率e=

c

a

=2，直线l：x=

1

2

是双曲线的右准线，故

|PN|

d

=e=2，
所以d=

1

2

|PN|，因此

|PM|

d

=

2|PM|

|PN|

=

4|PN|2

|PN|

=4|PN|=1+

17

解法二：
设P（x，y），因|PN|≥1知
|PM|=2|PN|²≥PN|＞|PN|，
故P在双曲线右支上，所以x≥由双曲线方程有y²=3x²-3．
因此|PM|=

(x+2)2+y2

=

(x+2)2+3x2-3

=

(2x+1)2

=2x+1，|PN|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+3x2-3

=

4x2-4x+1

.
从而由|PM|=2|PN|²得
2x+1=2（4x²-4x+1），即8x²-10x+1=0．
所以x=

5+ 17

8

（舍去x=

5- 17

8

）．
有|PM|=2x+1=

9+ 17

4

d=x-

1

2

=

1+ 17

8

．
故

|PM|

d

=

9+ 17

4

•

8

1+ 17

=1+

17

.

点评：本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义，及转化与化归、数形结合的数学思想，同时考查了学生的运算能力．