题目内容

求证:(n≥1).

证法一:(分析法)

要证原不等式成立，只需证

.

展开得 (n+1)+(n-1)+＜4n,即＜n.

只要证明n2-1＜n2,即-1＜0,此不等式显然成立,

即证明了.

证法二:(比较法)

∵

∴.

证法三:(综合法)


练习册系列答案
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已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(
1
3n
，
1
3n-1
](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．
设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn=nan，且数列{bn}的前n项和为（n-1）Sn+2n（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）求证：数列{Sn+2}是等比数列；
（3）抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：
12
5
＜
Tn+1
Tn
≤
11
3
．
精英家教网如图，设P1，P2，P3，…，Pn，…是曲线y=
x
上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，…，an，…，求证：a1+a2+…+an=
1
3
n（n+1）．
已知数列{an}有以下的特征：a1=1，a1，a2，…，a5是公差为1的等差数列；a5，a6，…，a10是公差为d的等差数列；a10，a11，…，a15是公差为d2的等差数列；…；a5n，a5n+1，a5n+2，…，a5n+5是公差为dn的等差数列（n∈N*），其中d≠0．设数列bn满足bn=a5n-a5（n-1）（n≥2），b1=a5．
（Ⅰ） 求证数列{bn}为等比数列；
（Ⅱ） 求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ） 当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有Sn＞
52
．

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