Question

已知数列{a_n}有以下的特征：a₁=1，a₁，a₂，…，a₅是公差为1的等差数列；a₅，a₆，…，a₁₀是公差为d的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₁₅是公差为d²的等差数列；…；a_5n，a_5n+1，a_5n+2，…，a_5n+5是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*），其中d≠0．设数列b_n满足b_n=a_5n-a_5（n-1）（n≥2），b₁=a₅．
（Ⅰ） 求证数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ） 求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有Sn＞

5

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根据已知条件便可求出当n≥2时bn的通项公式，然后求出

bn+1

bn

=d，当n=1时，

b2

b1

=d即可证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）、根据（Ⅰ）中求得的b_n的通项公式即可写出S_n的表达式，然后分别讨论d=1和d≠1时Sn的表达式即可；
（Ⅲ）、根据中求得的S_n的表达式，然后分别证明当b＞0时和-1＜b＜0时对所有正奇数n，Sn＞

5

2

．即可证明当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有Sn＞

5

2

．

解答：解：（Ⅰ）证明：当n≥2时，b_n=a_5n-a_5（n-1）=5d^n-1，
∴

bn+1

bn

=

5dn

5dn-1

=d（d≠0）．　（2分）
又b₁=a₅=a₁+4×1=5，b₂=a₁₀-a₅=5d，
∴

b2

b1

=d，（3分）
∴当n≥2时，

bn

bn-1

=d都成立，
故数列{b_n是以5为首项，d为公比的等比数列．（4分）

（Ⅱ）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1
=

5(1-dn) 1-d ，(d≠1) 5n，(d=1)

（7分）

（Ⅲ）当d∈（0，+∞）时，S_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1＞5显然成立（8分）
当d∈（-1，0）时，1＜1-d＜2，又∵n为正奇数，
∴1＜1-dⁿ
故

1-dn

1-d

＞

1

2

，
∴Sn＞

5

2

．　　　（10分）
或当d∈（-1，0）时，又n为正奇数，则1+d＞0＞2dⁿ，所以2-2dⁿ＞1-d＞0．
因此

1-dn

1-d

＞

1

2

，∴Sn＞

5

2

．　　（10分）

点评：本题主要考查了数列的求和以及数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．