Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，得f（0）≥3，再由②得f（0）≤3，从而有f（0）=3．
（Ⅱ）解：先任取两个变量，且界定大小，再由主条件按照单调性定义变形得到．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)，通过这一模型，我们就可得到x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）
∴f（0）=3．（3分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈[0，1]，且设x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，
因为x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）≥3，即f（x₂-x₁）-3≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂）．（5分）
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．（6分）

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)
（1）当n=1时，f(1)=f(

1

30

)=4=1+3=

1

30

+3（2），不等式成立；（7分）
（3）假设当n=k时，f(

1

3k-1

)≤

1

3k-1

+3(k∈N*)（4）
由f(

1

3k-1

)=f[

1

3k

+(

1

3k

+

1

3k

)]≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

+

1

3k

)-3≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

)+f(

1

3k

)-6
得3f(

1

3k

)≤f(

1

3k-1

)+6≤

1

3k-1

+9.
即f(

1

3k

)≤

1

3k

+3.
所以，当n=k+1时，不等式成立；（10分）
由（1）、（2）可知，不等式f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3对一切正整数都成立．（11分）
于是，当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，
所以，f(x)≤f(

1

3n-1

)≤3x+3.（13分）

点评：本题主要考查抽象函数用赋值法求函数值与用单调性定义来证明函数的单调性以及转化化归思想的应用．