题目内容

已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)且
b
≠0，函数f（x）=2
a
•
b
-1
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）若
a
=
b
，分别求tanx及
cos2x
f(x)+1
的值．
分析：（I）化简函数f（x）=2
a
•
b
-1=2sin（2x+
π
6
），可得函数的周期，令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（II）由
a
=
b
，求得tanx=
3
，再由
cos2x
f(x)+1
=
cos2x-sin2x
2
3
sinxcosx+2cos2x
=
1-tan2x
2
3
tanx+2
，运算求得结果．
解答：（I）解：函数f（x）=2
a
•
b
-1=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
），
故函数的周期为
2π
2
=π，
令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，故函数的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z．
（II）解：若
a
=
b
，则sinx=
3
cosx，即 tanx=
3
．
∴
cos2x
f(x)+1
=
cos2x-sin2x
2
3
sinxcosx+2cos2x
=
1-tan2x
2
3
tanx+2
=
1-3
2
3
•
3
+2
=-
1
4
．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的周期性和求法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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