Question

已知椭圆,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），求斜率k的取值范围.

Answer 1

解析:

假设存在直线满足条件，设直线方程为:y=kx+b,则

由方程组消得: (3k²+1)x²+6bkx+3b²－3=0 , 因为直线与椭圆交于不同两点,

所以△=(6bk)²－4(3k²+1)(3b²－3)>0,整理得:3k²+1>b² --------①

设A（x,y）,B(x₂,y₂)，AB的中点为,

∵点A、B在椭圆上,∴,两式相减得:

,∴, 

又由中点坐标公式得:,,∴--------②  

又因为点在线段AB的中垂线上,即直线的斜率为

-------③，由②③得：,,

因为AB的中点在直线上,所以, 即有-------④,

将④代入①得:,解得:,又因为,

所以存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），,故k的取值范围是.