Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且AN=AM？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设椭圆的方程

x2

a 2

+y 2=1 (a＞1)，则其右焦点F（

a 2-1

，0），结合点到直线的距离公式列出关于a的方程求得a值，最后写出椭圆的方程即可；
（2）设存在直线l，设其方程为：y=kx+b，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点的坐标即可求得斜率的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），
由题意，可设椭圆的方程

x2

a 2

+y 2=1 (a＞1)，则其右焦点F（

a 2-1

，0）
所F到直线x-y+2

2

=0的距离d=3，解得a²=3
所以椭圆的方程

x2

3

+y 2=1（4分）
（2）设存在直线l，
设其方程为：y=kx+b，

y=kx+b x2 3 +y 2=1

消去y得：（3k²+1）x²+6bkx+3b²-3=0①，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△=36b²k²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，1+3k²-b²＞0②，
∴x1+x2=-

6bk

1+3k2

∴y1+y2=

2b

1+3k2

MN的中点P的坐标(-

3bk

1+3k2

，

b

1+3k2

)，
因AN=AM，所AP是线MN的垂直平分线，∴AP⊥MN，
根据斜率之积为-1，可得：
b=

3k 2+1

2

，将其代入②并整理（3k²+1）（k²-1）＜0
∴-1＜k＜1故存在满足条件的直l，其斜率的取值范围-1＜k＜1，k≠0．（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．