Question

已知圆是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点；若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：存在;直线y=x－4$y=x＋1
解析：

解：将圆的一般式配方，得 设弦AB的中点为M，连结CM，如图所示． 则 连结CA，CM，则△CMA为直角三角形． 假设直线l存在，设其方程为y=x＋b， 则圆心到它的距离 ∴ 把y=x＋b代入圆的方程并整理得 设 则∴ ∴ ∴ 根据题意，有即 两边平方整理得解得b=1或b=－4． ∴存在直线y=x－4或y=x＋1，满足题目的要求． 这是一个直线和圆的综合问题，若存在AB为直径的圆经过坐标原点，则原点到弦AB中点的距离等于弦AB长度的一半，据此便可建立关系式求解．