Question

【题目】已知中，角，，所对的边分别是，，，且点，，动点满足（为常数且），动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）试求曲线的方程；

（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线交于，两点，是曲线上不同于，的动点，试求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（），（2）当的方程为时，的面积最大，最大值为.

【解析】试题分析：（Ⅰ） ，即点的轨迹是以为焦点， 的椭圆；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果可知方程为 ，斜率不存在时，面积无最大值，当斜率存在时，设直线为，与其平行并且和椭圆相切时三角形的面积最大，所以根据方程联立后的根与系数的关系表示弦长和平行线间的距离得到，表示为关于的函数，计算函数的最大值.

试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且，

所以动点的轨迹为椭圆（除去、与共线的两个点）.

设其标准方程为，所以，

所以求曲线的轨迹方程为（），

（Ⅱ）当时，椭圆方程为.

①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值，

②过定点的直线不与轴重合时,

设方程为：，、，

若，因为，故此时面积无最大值.

根据椭圆的几何性质，不妨设，

联立方程组消去整理得：，

所以则.

因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，

设切线：，

联立消去整理得，

由，解得.

又点到直线的距离，

所以，

所以.将代入得：，

令，设函数，则，

因为当时，，当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数，所以.

故时，面积最大值是.

所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为.