Question

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设Hn(x)=(

1

2

)gn(x)，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为[-

1

2

，3]，
求证：a=

1

2

，b=2．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=log₂x，点N（x，ny）又在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，即

x+2

=x+a有实根，实质是求函数y=

x+2

-x的值域；
（3）函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为[-

1

2

，3]，故此，本问题只需判断出函数F（x）在[a，b]上的单调性即可求解a，b．

解答：解：（1）由条件知

y=f(x) ny=gn(x)

，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即

x+2

=x+a，
∴求集合A就是求方程

x+2

=x+a有实根时a的范围．
而a=

x+2

-x=-(

x+2

-

1

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
∴a≤

9

4

时原方程总有实根，

∴集合A=(-∞，

9

4

]．

（3）∵Hn(x)=(

1

2

)nlog2x=

1

xn

∴F(x)=

1

x

-log2x，(0＜a≤x≤b)，
又F′(x)=-

1

x2

-

1

xln2

＜0， ∴F(x)在[a，b]上递减，
∴

F(a)=3 F(b)=- 1 2

，即

1 a -3=lo g   2 a 1 b + 1 2 =log2b

①，
由y=

1

x

+t与y=log₂x的图象只有唯一交点知：方程

1

x

+t=log2x只有唯一解，
经检验

a= 1 2 b=2

是方程组①的唯一解，故得证．

点评：待定系数法是求函数解析式的一种常见方法，例如问题（1）；转化思想是数学中的重要思想之一，问题的转化往往可以收到意想不到的效果，如问题（2）；问题（3）再次展现了求解函数最值时导数的工具性作用．