Question

若数列的前项和为，对任意正整数都有，记．
（1）求,的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若求证：对任意．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见试题解析．

解析试题分析：（1）分别令可求得的值；（2）利用与的关系式，先求，再利用已知条件求得数列的通项公式；（3）先利用累加法求得,再利用裂项相消法求和，进而可证明不等式．
试题解析：(1)由，得，解得．      1分
，得，解得．      3分
（2）由           ①，            
当时，有  ②，　　              4分
①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　   ５分
数列是首项，公比的等比数列　　　　   ６分
，　　　　　   ７分
．　　　　　　　　   ８分
（3），
，　    (1)
，     (2)
，
，
，          ()　　　　　   ９分
(1)+(2)+   +()得，    10分
，                                    11分　
，　　　　　　　　    12分

，　　　　　　　    13分
，　　　　　　　　　　　　　　　　　
对任意均成立．　　　    14分
考点：1、数列通项公式的求法；2、数列前项和的求法；3、数列不等式的证明．