Question

14．已知：cos²10°+cos²70°+cos²130°=$\frac{3}{2}$，cos²6°+cos²66°+cos²126°=$\frac{3}{2}$．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明你的结论．

Answer 1

分析 分析已知条件中，我们可以发现等式左边参加累加的三个均为余弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答 解：∵cos²10°+cos²70°+cos²130°=$\frac{3}{2}$，
cos²6°+cos²66°+cos²126°=$\frac{3}{2}$．
归纳推理的一般性的命题为：cos²α+cos²（α+60°）+cos²（α+120°）=$\frac{3}{2}$，
证明如下：
左边=$\frac{1}{2}$[1+cos（2α+120°）]+$\frac{1}{2}$（1+cos2α）+$\frac{1}{2}$[1+cos（2α+240°）]
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$[cos（2α+120°）+cos2α+cos（2α+240°）]
=$\frac{3}{2}$=右边．
∴结论正确．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．