Question

已知：数列{a_n}满足，其中n∈N，首项为a．
（1）若对于任意的n∈N，数列{ a_n}还满足a_n=p（p为常数），试求a的值；
（2）若a=4，求满足不等式a_n≤2的自然数n的集合；
（3）若存在a，使数列{ a_n}满足：对任意正整数n，均有a_n＜a_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知a_n=a_n+1=a=p，由此可知a的值为1或2．
（2）由已知，得a_n+1-1=，，a=4，由此可以求得自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}．
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．要使a₁＜a₂，则a₁＜-1或1＜a₁＜2．然后在分类讨论，可以求得a∈（1，2）．
解答：解：（1）∴对任意的n∈N，a_n=p（p为常数），
∴a_n=a_n+1=a=p，
则=p，得p²-3p+2=0，
所以p=1或p=2，故a的值为1或2．（4分）
（2）由已知，得a_n+1-1=，，
a=4，所以由（1）得a_n≠1，2对任意n∈N成立．

∴所求的自然数n的集合为：{n|n≥3，n∈N}（8分）
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．
要使a₁＜a₂，则a₁＜-1或1＜a₁＜2．
（i）当a₁＜-1时，a₂=f（a₁）=4-＞4，而a₃=f（a₂）=4-＜4＜a₂，明显不满足题意，舍去；
（ii）当1＜a₁＜2时，由a₂=4-，得1＜a₂＜2，
由a₃=4-，和1＜a₃＜2，
…，…，
依此类推，a_n=4-，得1＜a_n＜2，
而1＜a_n＜2时，不等式a_n＜a_n+1成立．
∴数列{a_n}中的所有项均满足a_n＜a_n+1（n∈N*）．
综上所述，a₁∈（1，2），由a₁=f（a），得a∈（1，2）（14分）
点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．属于难题．