Question

已知函数f（x）=

x+ 1 2 ，(x≤ 1 2 ) 2x-1，( 1 2 ＜x＜1) x-1，(x≥1)

，若数列{a_n}满a₁=

7

3

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=

 

．

Answer 1

分析：先要通过a₁求出a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，…从中找出数列的规律来．从而求出a₂₀₀₆+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀

解答：解；∵a1=

7

3

，an+1=f(an)，∴a2 =

7

3

-1=

5

3

，
∴a3=f(a2)=f(

5

3

)=

5

3

-1=

2

3

，
∴a4=f(a3)=f(

2

3

)=2×

2

3

-1=

1

3

，
∴a5=f(

1

3

)=

1

3

 +

1

2

=

5

6

，a6=2×

5

6

-1=

2

3

，a7=

1

3

 ，a8=

5

6

，…
 由此可得，a₄=a₇=a₁₀=…，a₅=a₈=a₁₁=…，a₆=a₉=a₁₂=…
∴a₂₀₀₆=a₅，a₂₀₀₉=a₅，a₂₀₁₀=a₆
∴a2006+a2009+a2010=

5

6

+

5

6

+

2

3

=

14

6

，
故答案为：

14

6

．

点评：此题考查函数周期性．处理时，必须从数列的前几项找出规律来，从而发现数列的周期．