Question

【题目】正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点，、分别是、上的动点（含端点），且满足.当、运动时，下列结论中正确的个数是（ ）

①平面平面；

②三棱锥的体积为定值；

③可能为直角三角形；

④平面与平面所成的锐二面角范围为.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由得线段MN必过正方形的中心O，则平面，推出面面垂直；②由的面积不变，点N到平面的距离不变得到三棱锥的体积为定值；③利用反证法说明不可能为直角三角形；④设三棱柱棱长为a，，建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面与平面所成二面角的余弦值，根据t的范围求出的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围.

①如图当M、N分别在、上运动时，若满足，则线段MN必过正方形的中心O，而平面，所以平面平面，①正确；

②当M、N分别在、上运动时，的面积不变，点N到平面的距离不变，所以棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，②正确；

③设三棱柱棱长为a，，由易知且，，

若为直角三角形则，，

所以，化简得，

解得或，均不符合题意，所以不可能为直角三角形，③错误；

④建立如图所示空间直角坐标系：

设三棱柱棱长为a，，则，

，

设为平面DMN的法向量，则

，

令可得平面DMN的一个法向量为，

易知为平面ABC的一个法向量，

设平面与平面所成二面角为，则，

因为，所以，

所以平面与平面所成的锐二面角范围为，④正确.

故选：C