Question

设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．

Answer 1

2y²－x²＝1(x²<3)．

试题分析：将直线与双曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x的一元二次方程。由题意知方程有两根，故二次项系数不为0，且判别式大于0，解出a的范围，即所求轨迹方程的定义域。根据韦达定理得到两根之和，两根之积（整体计算比计算出两个根要简单）。根据且以AB为直径的圆过原点，可得直线AO和直线BO垂直，可利用斜率之积等于列式计算，但这种情况需对斜率存在与否进行讨论。为了省去讨论的麻烦可用向量问题来解决。详见解析。
试题解析： 解：联立直线与双曲线方程得，消去y得：(a²－3)x²＋2abx＋b²＋1＝0.
∵直线与双曲线交于A、B两点，∴⇒a²<3.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
由⊥得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁·y₂＝(ax₁＋b)(ax₂＋b)＝a²x₁x₂＋ab(x₁＋x₂)＋b²，
∴有＋a²·－＋b²＝0.
化简得：a²－2b²＝－1.故P点(a，b)的轨迹方程为2y²－x²＝1(x²<3)．