Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过（2，0）点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若

OA

•

OB

=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1，结合a²=b²+c²，可求a，b，进而可求椭圆C的方程
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，由直线l：y=x+m与椭圆C相交时，可得方程有2个不等实根，结合二次方程的根的个数的条件可求m的范围
（3）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，结合方程的根与系数关系可求m

解答：解：（1）因为

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1
所以a=2，c=

3

，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）联立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，（6分）
△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．（8分）
（3）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由（2）得x1+x2=-

8

5

m，x1x2=

4m2-4

5

，（10分）
又因为

OA

•

OB

=0，所以∠AOB为直角，即x₁x₂+y₁y₂=0，（12分）
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0，
即

8m2-8

5

-

8

5

m2+m2=0，
解得m=±

2

5

10

；（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的 根与系数关系的应用是求解本题的关键