Question

设为a,b,c正数，记d为, , 中的最小数.

（1）求证：存在λ(0＜λ＜１＝，使得ｄ≤；．．．．．．（*）

（2）求出使不等式（*）成立的最小正数λ并给予证明.

Answer 1

解析：（1）由d的定义知，d≤，d≤，d≤.将这三个不等式相加，

得3d，即d≤，故可取λ＝.

(2)不妨设a≥b≥c.若b≤，则a≥2b－c＞0,且d＝.因此5d－＝

5≤5－＝≤0，即λ≤.

    若b＞,则a≤2b，且d＝.因此，＝＝＝≤0，故此时也有λ≤.

为了证明λ≥,我们取b＝，则d＝，此时有＝＝.由此可见,对于任意正数

λ＜，有＝＞，故只要ｃ＜，上式右边就大于，因此必有≥.  综上所述，可知满足（*）的最小正数λ为