Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线，三点，，中仅有一个点在抛物线上．

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设直线不经过点且与相交于两点．若直线与的斜率之和为，证明：过定点．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）根据抛物线对称性确定在抛物线上，代入可得，（2）先设坐标，根据斜率公式化简条件直线与的斜率之和为，得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简得，根据点斜式可得定点.

(Ⅰ)因为点,关于轴对称，故两个点都不在抛物线上．

所以仅在抛物线上，计算得，解得，

所以．经验证,都不在上．

（Ⅱ）由题意得直线斜率不为，设直线，，与的斜率分别为．将与联立，并消去，得：，

故有；．又因为，

所以，解得

又因为，所以，即，

解得，即，故，必过定点．