Question

某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时（4≤v≤20）从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时（30≤w≤100）自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9时到达C市．设汽车、摩托艇所需的时间分别是x，y小时．
（1）写出x，y所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示x，y范围的图形；
（2）如果已知所需的经费z=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

Answer 1

分析：（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件；
（2）由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

解答：解：（1）由题意得：v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100，
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

①
由于汽车、摩托艇所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14   ②
因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分
z=100+3（5-x）+2（8-y）
（2）因为z=100+3（5-x）+2（8-y），
∴3x+2y=131-z，设3x+2y=k，使k值最大的直线必通过（10，4）点，
即当x=10，y=4时，z 最小，
此时，v=12.5，w=30，z的最小值为93元．

点评：本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．