Question

已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax-y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出圆心坐标，利用圆与直线4x+3y-29=0相切，圆心的横坐标是整数，即可求得圆C的方程；
（2）利用圆心到直线的距离小于半径，可求实数a的取值范围；
（3）假设存在，则PC⊥AB，由此可得结论．

解答：解：（1）设圆心坐标为（a，0），则
∵圆与直线4x+3y-29=0相切，∴5=

|4a-29|

5

，∴a=1或a=13.5
∵圆心的横坐标是整数，∴a=1
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=25；
（2）由题意，圆心到直线的距离为d=

|a+5|

a2+1

＜5
∴12a²-5a＞0，∴a＜0或a＞

5

12

；
（3）假设存在，则PC⊥AB，∴

4-0

-2-1

×a=-1，∴a=

3

4

∵

3

4

＞

5

12

，
∴a=

3

4

时，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．